桁架单元介绍
桁架单元又称为杆单元，该单元具有以下特性：
（1）单元仅承受轴向载荷，不承受弯矩；
（2）单元节点仅有平动自由度，没有转动自由度，单元本身只发生轴向变形。
桁架单元又可分为平面桁架和空间桁架，平面桁架单元每个节点又 2 个自由度，空间桁架单元每个节点有 3 个自由度。
基本方程
桁架单元仅在单元端点收到轴向力作用，对于单元中任意长度为 $dx$ 的隔离体，满足以下方程：
几何方程：
$$ \varepsilon =\frac{du}{dx} $$
物理方程：
$$ \sigma=E\varepsilon=E\frac{du}{dx} $$
平衡方程：
$$ F=\sigma A = EA\varepsilon=EA\frac{du}{dx} $$
其中， $E$ 为弹性模量， $A$ 为截面面积， $F$ 为杆端轴力，$\varepsilon$ 为轴向应变，$\sigma$ 为轴向应力，$du$ 为轴向力 $F$ 作用下长度为 $dx$ 的隔离体变形。
局部坐标系下单元刚度矩阵
根据上述几何方程、物理方程和平衡方程，可得：
$$ \left \{ f \right \}=\left [ k \right ]\left \{ a \right \} $$
其中 $\left\{ k\right\}=\frac{EA}{L}\begin{bmatrix}1&-1 \\ -1 & 1\end{bmatrix}$，即局部坐标下桁架单元的刚度矩阵。
单元的坐标转换矩阵
整体坐标下单元的刚度矩阵为：
$$ \left [ k \right ]=\frac{EA}{L}\begin{bmatrix}c^2 & cs & -c^2 & -cs \\ cs & s^2 & -cs & -s^2 \\ -c^2 & -cs & c^2 & cs \\ -cs & -s^2 & cs & s^2\end{bmatrix} $$
其中， $c=\cos\theta=\frac{x_2-x_1}{L}$，$s=\sin\theta=\frac{y_2-y_1}{L}$。
单元的内力
全局坐标下节点位移的单元应力：
$$ F=EA\varepsilon=\frac{EA}{L}\begin{Bmatrix}-c & -s & c & s\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}u_1 \\ v_1 \\ u_2 \\ v_2\end{Bmatrix} $$
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