基本变量
(1) 物体内一点的变形由它的三个位移分量来表示：
$$ \begin{Bmatrix}u\end{Bmatrix}=\begin{bmatrix}u&v&w\end{bmatrix}^T $$
(2) 体力体力也称体积力，就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，例如物体的重力、惯性力、电磁力等。一 般情况下，物体内各点的体力是不同的。
物体所受的体积力可用列向量表示：
$$ \begin{Bmatrix}f_v\end{Bmatrix}=\begin{bmatrix}f_{vx} & f_{vy} & f_{vz}\end{bmatrix}^T $$
(3) 面力面力也称表面力，是分布在物体表面上的力，例如风力、静水压力、物体之间的接触力等。物体在其表面各点所受到的力，一般也是不同的。
物体所受的表面力可用列向量表示：
$$ \begin{Bmatrix}f_s\end{Bmatrix}=\begin{bmatrix}f_{sx} & f_{sy} & f_{sz}\end{bmatrix}^T $$
(4) 外力边界面外法向量可用它的三个方向余弦来表示：
$$ \begin{Bmatrix}n\end{Bmatrix}=\begin{bmatrix}n_{x} & n_{y} & n_{z}\end{bmatrix}^T $$
(5) 集中力就是作用于物体某一点上的力。不论点是在物体内部还是在表面上，只在点附近很小区域存在作用力，其他区域数值为0，在有限元分析中集中力是常见形式。
物体所受的点载荷可用它的三个分量表示：
$$ \begin{Bmatrix}P\end{Bmatrix}=\begin{bmatrix}P_{x} & P_{y} & P_{z}\end{bmatrix}^T $$
(6) 物体内一点的应力可用列向量表示：
$$ \begin{Bmatrix}\sigma\end{Bmatrix}=\begin{bmatrix}\sigma_x & \sigma_y & \sigma_z & \tau_{yz} & \tau_{zx} & \tau_{xy}\end{bmatrix}^T $$
正应力分量：每个面上有一个量，只要用一个下标，既可表示作用面，又能区分作用方向，用 $\sigma_x$、 $\sigma_y$、 $\sigma_z$ 分别表示 $x$ 面、$y$ 面、$z$ 面上的正力分量；
剪应力分量：每个面上有两个量，共有6个量，要区分作用面及其作用方向，必须用两个下标表示。规定第1个下标表示作用面，第2个下标表示作用方向，如 $\tau_{xy}$ 表示 $x$ 面上与 $y$ 轴平行的剪应力分量。所有剪应力分量为 $\tau_{xy}$、 $\tau_{xz}$、 $\tau_{yx}$、 $\tau_{yz}$、 $\tau_{zx}$、 $\tau_{zy}$。
六个剪应力分量之间存在一些互等关系，称为剪应力互等定理：
$$ \tau_{xy}=\tau_{yx}\quad\tau_{xz}=\tau_{zx}\quad\tau_{yz}=\tau_{zy} $$
说明作用在两个互相垂直面上并且垂直于两面交线的剪应力是互等的，二者大小相等，正负号相同，剪应力的实际方向同时指向或背离两面交线。因此，剪应力符号中的两个下标可以对调，不必再区分哪个下标表示作用面或是作用方向。
(7) 物体内一点的应变可用列向量表示：
$$ \begin{Bmatrix}\varepsilon\end{Bmatrix}=\begin{bmatrix}\varepsilon_x & \varepsilon_y & \varepsilon_z & \gamma_{yz} & \gamma_{zx} & \gamma_{xy}\end{bmatrix}^T $$
所谓形变就是形状的改变，是描述物体受力后发生变形的相对力学量。物体的形变程度一般用六面单元体的三条互相垂直的棱边的伸缩程度以及棱边之间夹角的改变量来描述。棱边的相对伸长或缩短量称为正应变，有时也称线应变，用 $\varepsilon_x$、$\varepsilon_y$、$\varepsilon_z$ 表示，其意义为沿 3 个坐标轴方向的相对伸长量，正应变以伸长为正、缩短为负；棱边之间所夹直角的改变量称为剪应变，记为 $\gamma_{xy}$、$\gamma_{yz}$、$\gamma_{zx}$ ，如 $\gamma_{xy}$ 的意义为 $x$ 与 $y$ 轴夹角的改变量，以弧度表示，剪应变以直角变小为正、增大为负。
平衡方程
平衡方程是表示应力与外力（体力）之间关系的方程，3D弹性问题单元内任意一点的应力平衡方程表示为：
$$ \frac{\partial\sigma_x}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}+f_{vx}=0 $$
$$ \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial\sigma_{y}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{zy}}{\partial z}+f_{vy}=0 $$
$$ \frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial\sigma_{z}}{\partial z}+f_{vz}=0 $$
物理方程
物理方程表示应变与应力之间的关系，即广义胡克定律。用应力表示应变的物理方程。
$$ \varepsilon_x=\frac{1}{E}\left [ \sigma_x -\mu\left ( \sigma_y + \sigma_z \right ) \right],\quad \gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{G} $$
$$ \varepsilon_y=\frac{1}{E}\left [ \sigma_y -\mu\left ( \sigma_x + \sigma_z \right ) \right],\quad \gamma_{yz}=\frac{\tau_{yz}}{G} $$
$$ \varepsilon_z=\frac{1}{E}\left [ \sigma_z -\mu\left ( \sigma_x + \sigma_y \right ) \right],\quad \gamma_{zx}=\frac{\tau_{zx}}{G} $$
式中，$E$、$G$、$\mu$ 分别为材料的弹性模量、剪切模量和泊松比。三者的关系为
$$ G=\frac{E}{2(1+\mu)} $$
三个方向的正应变与正应力之间存在耦合关系，其影响量为泊松比。剪应变与剪应力之间不存在耦合。物理方程也有用应变表示应力的形式。
几何方程
几何方程又称柯西方程，表示应变与位移之间的关系。在小变形情况下，应变-位移关系可以用以下公式描述
$$ \varepsilon_x=\frac{\partial u}{\partial x},\quad \gamma_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} $$
$$ \varepsilon_y=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \gamma_{yz}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y} $$
$$ \varepsilon_z=\frac{\partial w}{\partial z},\quad \gamma_{zx}=\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z} $$
可见，剪应变是两个方向变形的协调性问题，如 $\tau_{xy}$ 就是 $x$ 与 $y$ 方向变形的相互影响。
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